Romano di nascita, cresciuto con l'idea fissa del giornalismo, Costanzo si sposa per la prima volta con Lori Sammartino, poi con Flaminia Morandi che gli darà i due figli Camilla di 28 anni e Saverio di 26. Dopo un ulteriore breve matrimonio con la conduttrice Marta Flavi, il 28 agosto 1995 (